Niemand ist verpflichtet, sich einer Privatperson gegenüber auszuweisen.
Dafür ist die Polizei da, der gegenüber man sich ausweisen MUSS.
Selbst wenn du als Privatperson jemanden bei einer Straftat erwischst und ihn nach §127 StPO sogar vorläufig festnehmen darfst, ist derjenige nicht verpflichtet, sich dir gegenüber auszuweisen. Darum darfst du ihn ja auch festhalten, bis die Polizei da ist...
Das Thema taucht übrigens immer wieder bei Problemen (Unfällen, Ordnungswidrigkeiten etc.) mit Radfahrern auf und bietet dann Anlass zur Diskussion über eine Kennzeichenpflicht.
In der darauf folgenden Diskussion kommt dann auch 100%ig irgendwann die Feststellung, dass dann auch Fußgänger kennzeichenpflichtig sein müssten.