Ich tippe mal auf Siff im Tank. HAt die KLR einen Stahltank? Dann könnten es Rostpartikel sein, die den Ablauf zum Benzinhahn verstopfen. Wenn Du fährst, bewegt sich die Masse, es kommt eben genug Sprit durch. Bleibst Du stehen, kommt der Kram zur Ruhe und sammelt sich an der tiefsten Stelle. Und was ist da?

Da verbrennt sie nur noch den Sprit aus der Schwimmerkammer.
Lass den Sprit ab und mache den Tank sauber, dann läuft sie wieder.